『魔方陣』ってありますよね。
全ての枡に違う値が入っているのに、どの段を横に足しても、どの列を縦に足しても、対角線に足しても、同じ答になる。
これを『魔方陣』と呼びます。

一般的な『魔方陣』は、３×３です。
こんな感じです。

┏━┳━┳━┓
┃６┃１┃８┃
┣━╋━╋━┫
┃７┃５┃３┃
┣━╋━╋━┫ 
┃２┃９┃４┃
┗━┻━┻━┛

これは、１〜９を９枡に一つずつ入れ、縦横斜めの合計が、全て１５になっています。
３×３の魔方陣の答は、これだけです。
「いやいや、もっとあるでしょう」
あると言えばあります。
全部で８パターンがあります・・・が、これらは全て対称配置なのです。
上図では、左上に『６』がありますが、これを右上、右下、左下と回転させていくと、４パターンできます。更に、上下か左右を入れ替えて、同じように回転させます。
合わせて８パターンです。
「上下を反転させたパターンは？」
上下を反転させて１８０度回転させると、左右を反転させた場合と同じになります。つまり、左右反転でも上下反転でも、回転させると同じパターンになります。更には、対角線で反転させても、同じになります。

１〜９の置き方は、対称を含めて９！通り（３６２８８０通り）もありますが、ポイントである中央の『５』に気付きさえすれば、少し頑張れば見付けることができます。


さて、３×３の魔方陣を見て気付くことは、一桁の自然数を全て使っていることです。
自然数は、１０進数ですね。
１０進数以外の魔方陣は、どうなるのでしょうか。
１０進数以外では、２進数、１２進数、１６進数、２４進数、６０進数などがあります。
魔方陣は、ｎの二乗ですから、必要な数は、４、９、１６、２５、３６、４９、６４・・などです。
ｎ進数と一致するのは、１６進数です。
と言うことで、ＳＥ（三流に過ぎないが）でもある私は、４×４の魔方陣に、１桁の１６進数（０〜Ｆ）を当て嵌めててみることにしました。

と意気込んでみましたが、なかなか見付かりません。
０〜Ｆの合計は、ｎ（ｎ＋１）／２から、７８（１０進数で１２０）です。これが４列に均等に分かれるので、右へ２ｂｉｔシフトする（４で割る）と、１列の合計は１Ｅ（１０進数で３０）とわかります。
ここまでは簡単ですが、組合せが多く、全てが１Ｅになるパターンが見付かりません。
４×４の魔方陣は、数字の配置が対称を含めて１６！パターンもあります。２０兆９２２７億８９８８万８０００パターンです。
こんなにあるので、感覚的に探しても無理です。かと言って、数学が苦手な私は、数学的に解を探すにも時間が掛かります。
・・で、プログラムを組んで、虱潰しに探すことにしました。
それでも、６時間半も掛かりました。（実際には、数回に分けて実施）
その結果、対称を含めて７０４０パターン（対称を除くと８８０パターン）の解を見つけることができました。
２９億７１９８万７２００パターンに一つの割合で、解が存在する計算です。道理で、中々解が見付からないはずです。
せっかく、７０４０パターンもの解が見付かったので、もう一捻りすることにしました。
チャレンジしたのは、対角線に並行な枡も、同じ値にすることです。
それが、下記です。

┏━┳━┳━┳━┓
┃０┃Ｃ┃Ｂ┃７┃
┣━╋━╋━╋━┫
┃５┃９┃２┃Ｅ┃
┣━╋━╋━╋━┫
┃Ａ┃６┃Ｄ┃１┃
┣━╋━╋━╋━┫
┃Ｆ┃３┃４┃８┃
┗━┻━┻━┻━┛

右上から左下への３枡の合計は、どちらも１Ｅになります。
左上から右下への３枡も、合計を１Ｅにしたかったのですが、そのようなパターンは存在しませんでした。


さて、今回の魔方陣は、足し算で作りましたが、掛け算で作る事はできるのでしょうか。
実は、簡単なのです。
足し算の魔方陣をベースに、ｎの累乗で作れば良いのです。ｎは、１以外なら幾つでもＯｋです。ｎは１でも良いですが、全ての枡が１になってしまうので、面白くありません。
では、ｎ＝２でやってみましょう。なお、１０進数で魔方陣を作ってみましょう。

┏━━━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━━┓
┃　　　　１┃４０９６┃２０４８┃　　１２８┃
┣━━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━━┫
┃　　　３２┃　５１２┃　　　４┃３２３８４┃
┣━━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━━┫
┃　１０２４┃　　６４┃８１９２┃　　　　２┃
┣━━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━━┫
┃３２７６８┃　　　８┃　　１６┃　　２５６┃
┗━━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━━┛

１０進数で表現しましたが、本当は１６進数の方がわかりやすいと思います。

┏━━━━┳━━━━┳━━━━┳━━━━┓
┃　　　１┃１０００┃　８００┃　　８０┃
┣━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━┫
┃　　２０┃　２００┃　　　４┃４０００┃
┣━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━┫
┃　４００┃　　４０┃２０００┃　　　２┃
┣━━━━╋━━━━╋━━━━╋━━━━┫
┃８０００┃　　　８┃　　１０┃　１００┃
┗━━━━┻━━━━┻━━━━┻━━━━┛

掛け算の魔方陣が成立していることが、感覚的にわかります。
これは、１６進数が２の４乗でできているので、２の累乗を当て嵌めた『掛け算魔方陣』は、わかりやすい数値となりました。
１０の累乗で『掛け算魔方陣』を作れば、その成り立ちがわかりやすいでしょう。

もう一段、数学的に説明すると、「掛け算は、指数部の足し算になる」と言う数学のルールの応用なのです。
例えば、２^２ × ２^３は、２^(２＋３)となります。
左端の縦を考えると、２^０×２^５×２^10×２^15なので、２^(０＋５＋１０＋１５)になります。結局、掛け算魔方陣でも、中身は足し算魔方陣のままなのです。
ここまで説明すれば、各列の掛け算の結果もわかりますね。
そうです。
ｎの３０乗になります。
前述の例のようにｎ＝２ならば、どの列も１０億７３７４万１８２４になります。
１６進数なら、４０００００００です。

掛け算の魔方陣は、別の方法もあります。
各枡に、２^ｍ× ３^ｎを入れていくのです。（ｍとｎは、それぞれ０〜３をとる）
累乗の項（ｍとｎ）が重ならないよう、上手く配置すれば、掛け算魔方陣が完成します。その時、掛け算の結果は、２^(0+1+2+3) ×３^(0+1+2+3) ＝ ４６６５６になります。
実例を一つ書いておきます。

┏━━━┳━━━┳━━━┳━━━┓
┃　　１┃　７２┃　５４┃　１２┃
┣━━━╋━━━╋━━━╋━━━┫
┃　３６┃　２４┃　　２┃　２７┃
┣━━━╋━━━╋━━━╋━━━┫
┃　　６┃　　９┃１０８┃　　８┃
┣━━━╋━━━╋━━━╋━━━┫
┃２１６┃　　３┃　　４┃　１８┃
┗━━━┻━━━┻━━━┻━━━┛

上記で使われている数値は、全て２^ｍ × ３^ｎの形になっています。
例えば、１は、２^0 × ３^0です。
８は、２^3 × ３^0、２７は、２^0 × ３^3、１０８は、２^2 × ３^3 です。
掛け算魔方陣を作る時には、指数を意識することで、比較的簡単に作れます。


さて、１６進数の魔方陣を中心に見てきましたが、いかがでしたか？

素数で構成された魔方陣もあります。ちなみに、素数の魔方陣は足し算のみです。掛け算ではできないので、チャレンジは無駄になります。御注意ください。
形も、様々な魔方陣があります。
ちょっと調べてみても、面白いかもしれません。

暇な時に、数学パズルとしての魔方陣を考えてみてはいかがでしょうか。